Differenzial- und Integralrechnung inkl. Kurvendiskussion
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Alt 15.01.2013, 21:12   #1   Druckbare Version zeigen
syLeZ Männlich
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Beiträge: 57
Newtonsche DGL

Und zwar komme ich bei der Lösung dieser DGL nicht weiter:
{ m*\ddot x =m*g- \beta  \dot x ^2 }
Ich hätte die Gleichung mit einer Substitution gelöst:
{\dot x =z} und somit {\ddot x=\dot z=dz/dt}, dann
{\int m/(m*g-\beta*z^2) dz=\int dt } aber irgendwie komme ich dann nicht auf die Lösung, weil es dann unter der Wurzel bei lösen des linken Integral negativ wird. Ich benötige zuerst {\dot x} wegen der Geschwindigkeit, die Lösung an sich ist aber wegen weiterer Aufgaben nur für x(t) angegeben und baut sich mit ln(cosh()) auf. Ich hoffe jemand findet meinen Fehler. Danke
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Alt 15.01.2013, 21:40   #2   Druckbare Version zeigen
Nick F. Männlich
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Beiträge: 21.618
AW: Newtonsche DGL

ohne uns deine rechnung zu zeigen, wird dir niemand deinen fehler nennen können. insbesondere wenn die fehlerbeschreibung "irgendein term unter irgendeiner wurzel wird negativ" ist, insbesondere da es weit und breit keine wurzel gibt

Nick
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Alt 15.01.2013, 21:57   #3   Druckbare Version zeigen
syLeZ Männlich
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Beiträge: 57
AW: Newtonsche DGL

...also ausgehend von
{\int m/(mg-\beta \ddot x^2)dz=\int dt }
hab ich mithilfe vom Binomi (Tafelwerk) das Integral zur Hilfe genommen:
{ \int dx/(a^2-x^2) =arctan (x/a) } genommen.
Dann hab ich umgeformt durch ausklammern zu:
{-m/\beta \int dz/(-mg/\beta + \ddot x^2)=\int dt }
die Lösung {arctan (x/a) } benötigt a, deshalb:
{-mg/\beta=a^2 \leftrightarrow a=+ - \sqrt{-mg/ \beta} } und das ist der Knackpunkt.
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Alt 15.01.2013, 22:25   #4   Druckbare Version zeigen
Nick F. Männlich
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Beiträge: 21.618
AW: Newtonsche DGL

Zitat:
Zitat von syLeZ Beitrag anzeigen
...also ausgehend von
{\int m/(mg-\beta \ddot x^2)dz=\int dt }
also, wenn es schon mit dem abschreiben hapert ...

Nick
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Alt 15.01.2013, 22:38   #5   Druckbare Version zeigen
syLeZ Männlich
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Beiträge: 57
AW: Newtonsche DGL

...also ausgehend von
{\int m/(mg-\beta z^2)dz=\int dt }
hab ich mithilfe vom Binomi (Tafelwerk) das Integral zur Hilfe genommen:
{ \int dx/(a^2-x^2) =arctan (x/a) } genommen.
Dann hab ich umgeformt durch ausklammern zu:
{-m/\beta \int dz/(-mg/\beta + z^2)=\int dt }
die Lösung {arctan (x/a) } benötigt a, deshalb:
{-mg/\beta=a^2 \leftrightarrow a=+ - \sqrt{-mg/ \beta} } und das ist der Knackpunkt.
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Alt 15.01.2013, 22:42   #6   Druckbare Version zeigen
Nick F. Männlich
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Beiträge: 21.618
AW: Newtonsche DGL

dein integral ist nicht von der form

{\int\frac{dx}{a^2-x^2}}

zumindest nicht, wenn du reell rechnen möchtest. es lässt sich jedoch so einrichten

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Alt 15.01.2013, 23:23   #7   Druckbare Version zeigen
syLeZ Männlich
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Beiträge: 57
AW: Newtonsche DGL

Ja naja es ist von der Form {\int dx/(a^2+x^2)=arctan(x/a)} aber um es auf diese Form zu bringen muss ich doch ein Minus ausklammern zu (-mg/beta) oder nicht? und das wir dann a=sqrt(-mg/beta)
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Alt 15.01.2013, 23:34   #8   Druckbare Version zeigen
Nick F. Männlich
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AW: Newtonsche DGL

dann stellt sich die frage: welche vorzeichen haben m, g und {\beta}?

ansonsten: wenn du reell rechnen möchtest, dann musst du einen anderen weg finden, denn dein integral ist dann nicht von dieser form.

Nick
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Alt 16.01.2013, 00:18   #9   Druckbare Version zeigen
syLeZ Männlich
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AW: Newtonsche DGL

An sich hab die grundsätzliche Form jetzt heraus, nur in der Lösung für x(t) steht bei mir x(t)=m/beta*ln(cosh(sqrt(beta*g/m)*(t+c1)))+c2 aber in der lösung genau umgedreht sqrt(m/(g*beta)), ich komme aber einfach nicht drauf. hat man sich in der lösung vertippt oder habe ich noch einen grundsätzlichen fehler?
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Alt 16.01.2013, 00:23   #10   Druckbare Version zeigen
Nick F. Männlich
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Beiträge: 21.618
AW: Newtonsche DGL

im argument muss es {\frac{g\beta}{m}} heißen, als koeffizient muss es {\frac{mg}{\beta}} heißen

Nick
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Alt 16.01.2013, 00:27   #11   Druckbare Version zeigen
syLeZ Männlich
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Beiträge: 57
AW: Newtonsche DGL

dann hat sich in der lösung ein fehler eingeschlichen. vielen dank für die hilfe und nerven
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Alt 16.01.2013, 00:29   #12   Druckbare Version zeigen
syLeZ Männlich
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Beiträge: 57
AW: Newtonsche DGL

Achso ich merke gerade, müsste der KOeffizient nicht m/beta heißen? sonst würden auch die einheiten nicht stimmen
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Alt 16.01.2013, 00:34   #13   Druckbare Version zeigen
Nick F. Männlich
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Beiträge: 21.618
AW: Newtonsche DGL

nope. es ist {\sqrt{\frac{mg}{\beta}}} die einheit stimmt dann auch mit m/s

Nick
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