Differenzial- und Integralrechnung inkl. Kurvendiskussion
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Alt 07.03.2009, 21:27   #1   Druckbare Version zeigen
Joern87 Männlich
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Beiträge: 7.390
AW: Grundlagen und Methoden der Integralrechnung von Funktionen einer unabhängigen Variablen

Definition des bestimmten Integrals

f(x) sei eine in [a,b] definierte und beschränkte Funktion, die an höchstens endlich vielen Stellen nicht stetig ist. Durch Einführen von n-1 Teilpunkten a = x0<x1<x2<...<xn-1<xn=b wird [a,b] in n Teilintervalle [xi-1,xi] geteilt. Man wählt nun in jedem Teilintervall ein {\xi} aus [xi-1xi aus und bildet die Summe

{ Z_n = \sum_{i=1}^{\infty} f(\xi_i)(x_{i}-x_{i-1})} = Zwischensumme = Riemann'sche Summe

Nun macht man die Breite der Teilintervalle unendlich klein (-> 0); das bedingt, dass man unendlich viele Teilintervalle erzeugt:
{ \lim_{n \rightarrow \infty}Z_n = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{\infty} f(\xi_i)(x_{i}-x_{i-1}) = \int_a^b f(x) dx}

Den Grenzwert { \int_a^b f(x) dx } bezeichnet man als das bestimmte Integral der Funktion f(x) in den Grenzen a und b.

Hauptsatz der Differenzial- und Differenzialrechnung

Ist f(x) eine auf [a,b] stetige Funktion, dann gilt

a.) Existenz von Stammfunktionen

Die durch {\forall x \in [a;b]:\ F_a(x):=\int_a^xf(t)dt} definierte Integralfunktion ist eine Stammfunktion von f(x), d.h. {\frac{d}{dx} \int_a^x f(t) dt \ = \ \frac{dF_a(x)}{dx} = f(x) }

b.) Integralberechnung

Mit einer beliebigen Stammfunktion F(x) von f(x) gilt: { \int_a^b f(x) dx = F(x)|_a^b \ = \ F(b)-F(a)}

Ein Beweis kann auch noch hinzugefügt werden.

Die Menge aller Stammfunktionen von f wird mit { \int f(x) dx } bezeichnet und heißt unbestimmtes Integral, also { \int f(x) dx = F(x)+C }

Einige Standardintegrale

{f(x) = 0 \ \ \ F(x) = C }
{f(x) = x^n \ \ \ F(x) = \frac{1}{n+1} \cdot x^{n+1} + C }
{f(x) = sin(x) \ \ \ F(x) = -cos(x) + C}
{f(x) = cos(x) \ \ \ F(x) = sin(x) + C}
{f(x) = \frac{1}{cos^2(x)} \ \ \ F(x) = tan(x) + C}
{f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \ \ \ F(x) = arcsin(x) + C }
{f(x) = - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \ \ \ F(x) = arccos(x) + C }
{f(x) = \frac{1}{x^2+1} \ \ \ F(x) = arctan(x) + C}
{f(x) = \frac{1}{x} \ \ \ F(x) = ln(x) + C}
{f(x) = exp{a \cdot x} \ \ \ F(x) = \frac{1}{a} \cdot exp{a \cdot x}}

Integrationsmethoden

a.) Methode der Substitution

{\int f(t) dt =  \int f[g(x)] \cdot g'(x) dx}
Es gilt: t = g(x), {\frac{dt}{dx} = g'(x) \ \ \rightarrow \ dt = dx \cdot g'(x)}

Beispiel

{ \int \frac{(ln(x))^2}{x} dx } Substitution: {t = ln(x) \ \ \frac{dt}{dx} = \frac{1}{x} \ \ \rightarrow \ dx = x \cdot dt}
Eisetzen: {\int \frac{(ln(x))^2}{x} dx = \int t^2 dt = \frac{1}{3} \cdot t^2 + C = \frac{1}{3} \cdot (ln(x))^3 + C}

Beispiel

{\int_0^{\frac{\pi}{2}} cos(t) \cdot exp{sin(t)} dt} Substitution { u = sin(t) \ \rightarrow \ \frac{du}{dt} = cos(t) \ \rightarrow \ dt = \frac{du}{cos(t)} }
Einsetzen: {\int_{sin(0)}^{sin{\frac{\pi}{2}}} e^u du \ = \ e^u |_0^1 \ = \ e^1 - e^0 = e-1}

Bei einem bestimmten Integral müssen bei der Methode der Substitution auch die Grenzen entsprechend substituiert werden.

b.) Partielle Integration

{ (f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + g'(x) \cdot f(x) }
Es folgt nun:

{ \int f(x) \cdot g'(x) = f(x) \cdot g(x) - \int f'(x) \cdot g(x) dx + C }
Tripp: Der Faktor, der leicht zu differenzieren ist, wird f(x). Der Faktor, der leicht zu integrieren ist, wird g'(x). Es ist nicht unüblich, dass mehrfach partiell integriert werden muss, bis { \int f'(x) \cdot g(x) dx } auf ein Standardintegral zurückzuführen ist.

Beispiel: {\int ln(x) dx \ = \ \int 1 \cdot ln(x) dx} wähle f(x) = ln(x) --> f'(x) = 1/x und g'(x) = 1 --> g(x) = x

Einsetzen: {\int 1 \cdot ln(x) dx \ = ln(x) \cdot x - \int 1 dx\ = x \cdot ln(x) - x + C}

c.) Methode der Partialbruchzerlegung

Ziel der Partialbruchzerlegung ist, eine gebrochen rationale Funktion so umzuschreiben, dass die einzelnen Ausdrucke leicht zu integrieren sind.

Man geht von einer gebrochen rationalen Funktion { f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}} aus. p(x) und q(x) haben keine gemeinsamen Nullstellen und Polynomgrad p(x) < Polynomgrad q(x). Ist letztere Bedingung nicht erfüllt, so muss man zunächst eine Polynomdivision durchführen.

Beispiel: { f(x) = \frac{1}{(4+x)^3 \cdot (1+x^2)} \ = \ \frac{1}{(4+x)(4+x)(4+x)(1+x^2) }

Man erkennt, dass (1+x²) keine Nullstellen im Bereich der reellen Zahlen besitzt, der Partialbruchansatz lautet daher:
{ f(x) = \frac{1}{(4+x)^3 \cdot (1+x^2)} \ = \ \frac{A_1}{(4+x)} + \frac{A_2}{(4+x)^2} + \frac{B_1x+C_1}{(1+x^2)}}

komplettes Beispiel: {\int \frac{2s^2-3s-1}{(1+s)(1+s^2)}}
Der Term (1+s²) besitzt keine reelle Nullstelle, der Term (1+s) besitzt eine reelle Nullstelle, sodass man formulieren kann:

{ \frac{2s^2-3s-1}{(1+s)(1+s^2)} \ = \ \frac{A_1}{(1+s)} + \frac{B_1s+C_1}{1+s^2}}

Addition ergibt folglich:

{ \frac{(Bs + C)(1+s)+A(1+s^2)}{(1+s^2)(1+s)} \ = \ \frac{Bs + Bs^2 + C + Cs + A + As^2}{(1+s^2)(1+s)} \ = \ \frac{(B+A)s^2 + (B+C)s + A + C}{(1+s^2)(1+s)}}

Koeffizientenvergleiche liefert:

A + B = 2 A = 2
B + C = -3 B = 0
A + C = -1 C = -3

{ \frac{2s^2-3s+1}{(1+x^2)(1+s)} = \frac{2}{1+s} - \frac{3}{1+s^2}}

Dieses lässt sich nun sehr leicht integrieren:

{ \int \frac{2s^2-3s-1}{(1+s)(1+s^2)} ds \ = \ \int \frac{2}{1+s} ds \ - \ \int \frac{3}{1+s^2} ds \ = \ 2ln(1+s) - 3arctan(1+s^2) + C }

Uneigentlich Integrale

f(x) sei in { a \leq x &lt; b } definiert und in [a,c], c<b stückweise stetig. Durch die Definition
{ \int_a^b f(x) dx = \lim_{c \rightharpoon b^-} \int_a^c dx \ \ \ \ \ \ \ \ bzw. \ \ \ \ \ \int_a^{\infty} f(x) dx = \lim_{c \rightharpoon \infty} \int_a^c f(x) dx }
wir der Integralbegriff erweitert auf:

a.) Integranden f(x), die bei Annäherung x->b- nicht beschränkt sind
b.) unbeschränkte Integrationsintervalle { [a, \infty] }.

Existiert ein Grenzwert, so konvergiert das uneigentlich Integral. Existiert ein Grenzwert nicht, so divergiert das uneigentliche Integral.

Beispiel: { \int_0^{\infty} exp{-x} dx }
{ \int_0^{\infty} exp{-x} dx \ = \ \lim_{c \rightharpoon \infty} \int_0^c exp{-x} dx \ = \ \lim_{c \rightharpoon c}(-exp{-x}|_0^c) \ = \ \lim_{c \rightharpoon c}(-exp{-c} - exp{-0}) \ = \ 0-(-1) \ = \ 1}
__________________
mfg Jörn
Chemiker haben für alles eine Lösung!

Was macht Salz, wenn es pleite ist? Es geht in-Solvenz

Geändert von ThePat (07.03.2009 um 22:06 Uhr) Grund: Typo: Prtialbruchzerlegung -> Partialbruchzerlegung
Joern87 ist offline   Mit Zitat antworten
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Alt 07.03.2009, 21:51   #2   Druckbare Version zeigen
Rosentod Männlich
Moderator
Beiträge: 9.244
AW: Grundlagen und Methoden der Integralrechnung von Funktionen einer unabhängigen Variablen

Wer Änderungswünsche und Ergänzungen hat, möge dies hier kundtun. Ich arbeite es dann gegebenenfalls ein.
__________________
Lohnende Lektüre: die Kunst des Fragens (engl. Original: smart questions)
Rosentod ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 08.03.2009, 02:39   #3   Druckbare Version zeigen
DonCarlos Männlich
Moderator
Beiträge: 1.556
AW: Grundlagen und Methoden der Integralrechnung von Funktionen einer unabhängigen Variablen

Zitat:
Zitat von Joern87 Beitrag anzeigen
Definition des bestimmten Integrals
Es geht hier um den Begriff des Riemann Integrals - dieses Integral wird in der Schule und von Anwendern benutzt (im Unterschied zum Lebesgue Integral).

Zitat:
Zitat von Joern87 Beitrag anzeigen
f(x) sei eine in [a,b] definierte und beschränkte Funktion, die an höchstens endlich vielen Stellen nicht stetig ist.
Die Funktion muss lediglich beschraenkt sein - "Stetigkeit" ist eine zu scharfe Voraussetzung und kann weggelassen werden.

Zitat:
Zitat von Joern87 Beitrag anzeigen
Durch Einführen von n-1 Teilpunkten a = x0<x1<x2<...<xn-1<xn=b wird [a,b] in n Teilintervalle [xi-1,xi] geteilt. Man wählt nun in jedem Teilintervall ein {\xi} aus [xi-1xi aus und bildet die Summe
Hier wird nicht klar, wie {\xi} gewaehlt werden soll.

Zitat:
Zitat von Joern87 Beitrag anzeigen
{ Z_n = \sum_{i=1}^{\infty} f(\xi_i)(x_{i}-x_{i-1})} = Zwischensumme = Riemann'sche Summe
Es handelt sich um eine endliche Summe. Ich vermisse hier die Begriffe der Unter- und Obersumme.

Zitat:
Zitat von Joern87 Beitrag anzeigen
Nun macht man die Breite der Teilintervalle unendlich klein (-> 0); das bedingt, dass man unendlich viele Teilintervalle erzeugt:
{ \lim_{n \rightarrow \infty}Z_n = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{\infty} f(\xi_i)(x_{i}-x_{i-1}) = \int_a^b f(x) dx}

Den Grenzwert { \int_a^b f(x) dx } bezeichnet man als das bestimmte Integral der Funktion f(x) in den Grenzen a und b.
Das ist nicht ganz koscher, weil Unter- und Obersumme nicht eingefuehrt worden sind. Nur wenn im Grenzwertprozess Unter- und Obersumme uebereinstimmen, existiert das Integral (welches dann dem Grenzwert entspricht). Es gibt durchaus Funktionen, deren Untersummengrenzwert nicht mit dem Obersummengrenzwert uebereinstimmt.
DonCarlos ist offline   Mit Zitat antworten
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