Folgen und Reihen
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Alt 12.05.2019, 00:35   #1   Druckbare Version zeigen
noneofyourbusiness Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 1.743
Beweis absolute Konvergenz

Sei mit {\mathbb{K}} entweder {\mathbb{R}} oder {\mathbb{ C}} bezeichnet.

Weiterhin:
Zitat:
Sei a = (a0, a1, a2,...) eine Folge in {\mathbb{K}}. Wir setzen
{D_a := \{z | z \in \mathbb{K}, \sum_{n=0}^{\infty} a_nz^n} konvergiert in {\mathbb{K}\}}

(...)

Lemma
Ist {z \in D_a} und {|w| < |z|}, so ist auch {w \in D_a}. Die Reihe {\sum_{n=0}^{\infty}a_nw^n} ist sogar absolut konvergent.

Beweis:
Da {\sum_{n=0}^{\infty} a_nz^n} konvergent ist, gilt {a_nz^n \rightarrow 0}. Wir wählen ein {M \in \mathbb{R}} mit {|a_nz^n| \leq M} für alle {n \in \mathbb{N}} [Anm.: dass dies möglich ist, wurde zuvor bewiesen]. Weiter ist {q := |w/z| < 1} und daraus ergibt sich wegen {|a_nw^n| = |a_nz^n||\frac{w}{z}|^n \leq Mq^n} die absolute Konvergenz von {\sum_{n=0}^{\infty}a_nw^n}
Kann mir jemand sagen, wieso die (absolute) Konvergenz folgt? Eventuell aus dem Quotientenkriterium? In diesem Fall habe ich allerdings Schwierigkeiten die Beziehung {\|\frac{|a_{n+1}w^{n+1}|}{|a_nw^n|}\| \leq q} nachzuweisen.

Im Buch ist zwar noch als Hilfestellung "mit Hilfe von Satz (...) " angegeben, aber ich habe den Verdacht, dass der Autor sich hier in der Nummerierung vertan hat (was auch an anderer Stelle schon vorgekommen ist).
noneofyourbusiness ist offline   Mit Zitat antworten
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Alt 15.05.2019, 09:24   #2   Druckbare Version zeigen
shipwater Männlich
Mitglied
Beiträge: 2.111
AW: Beweis absolute Konvergenz

Hi,

Majorantenkriterium + geometrische Reihe.

Gruß Shipwater
__________________
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