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Mathematik Mathematik benötigt man immer, auch in anderen Fächern. Dieses Forum soll als Anlaufpunkt bei der Lösung von mathematischen Fragestellungen dienen.

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Alt 14.06.2011, 23:40   #1   Druckbare Version zeigen
noneofyourbusiness Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 1.743
Existenz größtes/kleinstes Element zu endlich vielen Zahlen zeigen

Es soll durch Induktion nach der Elementezahl n gezeigt werden, dass es zu je endlich vielen Zahlen {a_1, a_2, ..., a_n} immer eine größte (und eine kleinste) Zahl gibt.

Normalerweise beginnen Induktionsbeweise ja immer damit, dass zunächst die Aussage für den Wert "1" des Parameters gezeigt wird.
Ist es richtig, dass hier der Induktionsanfang für n = 2 (statt n = 1) gemacht wird?

Induktionsanfang:
{max_2 = max\{a_1, a_2\}:=\left\{ {a_2\mbox{ falls a_2\ge a_1 } \atop a_1\text{ falls a_2 < a_1}   }

---> mit {max_k} als gegeben vorausgesetzt, ist

{max_{k+1} = max\{max_k, a_{k+1}\}}

Ist man dann fertig? Kommt mir unvollständig vor.
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Alt 15.06.2011, 11:46   #2   Druckbare Version zeigen
Nick F. Männlich
Mitglied
Beiträge: 21.618
AW: Existenz größtes/kleinstes Element zu endlich vielen Zahlen zeigen

Zitat:
Zitat von noneofyourbusiness Beitrag anzeigen
Normalerweise beginnen Induktionsbeweise ja immer damit, dass zunächst die Aussage für den Wert "1" des Parameters gezeigt wird.
Ist es richtig, dass hier der Induktionsanfang für n = 2 (statt n = 1) gemacht wird?
hier musst du n=1 und n=2 machen, weil du beides brauchst. n=1 ist der induktionsanfang, n=2 benötigst du im induktionsschritt

Zitat:
Zitat von noneofyourbusiness Beitrag anzeigen
Kommt mir unvollständig vor.
weil du im induktionsschritt viel zu wenig geschrieben hast

Nick
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Alt 15.06.2011, 22:47   #3   Druckbare Version zeigen
noneofyourbusiness Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 1.743
AW: Existenz größtes/kleinstes Element zu endlich vielen Zahlen zeigen

So?

{max_1 := max\{a_1\} = a_1}

{max_2 := max\{a_1, a_2\}:=\left\{ {a_2\mbox{ falls a_2\ge a_1 } \atop a_1\text{ falls a_2 < a_1}   }

Sei also {max_k := max\{a_1, ..., a_k\}} gegeben.

Dann folgt wegen

{\{a_1,..., a_k, a_{k+1}\} = \{a_1,..., a_k\} \cup \{a_{k+1}\}}

dass

{max_{k+1} = max\{max_k, max_{k+1}\} = max\{max_k, a_{k+1}\}=\left\{ {a_{k+1}\mbox{ falls a_{k+1}\ge max_k } \atop max_k\text{ falls a_{k+1} < max_k}}
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Alt 17.06.2011, 11:02   #4   Druckbare Version zeigen
Nick F. Männlich
Mitglied
Beiträge: 21.618
AW: Existenz größtes/kleinstes Element zu endlich vielen Zahlen zeigen

warum gilt

{\max(M_1\cup M_2)=\max\{\max M_1,\max M_2\}}

? (die mengen seien beide endlich)

Nick
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Alt 17.06.2011, 11:49   #5   Druckbare Version zeigen
noneofyourbusiness Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 1.743
AW: Existenz größtes/kleinstes Element zu endlich vielen Zahlen zeigen

Zitat:
Zitat von Nick F. Beitrag anzeigen
warum gilt

{\max(M_1\cup M_2)=\max\{\max M_1,\max M_2\}}

? (die mengen seien beide endlich)
weil das der Fall n = 2 ist ?
noneofyourbusiness ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 17.06.2011, 12:50   #6   Druckbare Version zeigen
Nick F. Männlich
Mitglied
Beiträge: 21.618
AW: Existenz größtes/kleinstes Element zu endlich vielen Zahlen zeigen

ds ist nicht n=2. die frage ist, warum du mengen aufteilen kannst, die jeweiligen maxima finden und dann nur noch die beiden maxima betrachten brauchst. warum ist das maximum der menge in den maxima der teilmengen enthalten?

Nick
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Alt 17.06.2011, 13:39   #7   Druckbare Version zeigen
noneofyourbusiness Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 1.743
AW: Existenz größtes/kleinstes Element zu endlich vielen Zahlen zeigen

das....erscheint mir unmittelbar einsichtig okay, zählt nicht.

Zitat:
Zitat von Nick F.
warum ist das maximum der menge in den maxima der teilmengen enthalten?
das Maximum der Gesamtmenge soll ja eine obere Schranke für alle Elemente sein. Das Maximum einer Teilmenge gibt mir eben nur an, dass es obere Schranke für die Elemente der Teilmenge ist.
Das Maximum der beiden Teilmengenmaxima ist automatisch obere Schranke auch für alle Elemente der Teilmenge, die neu "hinzugekommen" ist.
Es ist also ein Vergleich der beiden Teilmengenmaxima nötig.
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Alt 17.06.2011, 13:46   #8   Druckbare Version zeigen
Nick F. Männlich
Mitglied
Beiträge: 21.618
AW: Existenz größtes/kleinstes Element zu endlich vielen Zahlen zeigen

ja (auch wenn man das noch ordentlich aufschreiben müsste)

im übrigen ist das nicht mehr trivial, wenn man verbände betrachtet (dh das sup und inf immer existieren müssen. von max und min kann man nicht mehr sinnvoll sprechen). hat man nämlich überabzählbar viele elemente in der zerlegten menge, dann benötigt man das auswahlaxiom

Nick
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Alt 17.06.2011, 13:53   #9   Druckbare Version zeigen
noneofyourbusiness Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 1.743
AW: Existenz größtes/kleinstes Element zu endlich vielen Zahlen zeigen

Zitat:
Zitat von Nick F. Beitrag anzeigen
ja (auch wenn man das noch ordentlich aufschreiben müsste)
mir war schon bewusst, dass ich da etwas voraussetze, was man noch zeigen müsste/könnte, aber ich hatte wohl - genau wie jetzt - Probleme, das zu formulieren. Wie macht man das also?
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Alt 17.06.2011, 14:14   #10   Druckbare Version zeigen
Nick F. Männlich
Mitglied
Beiträge: 21.618
AW: Existenz größtes/kleinstes Element zu endlich vielen Zahlen zeigen

sei {M=\bigcup_{i=1}^nM_i}, dann gilt

{\forall i\in\mathbb{N}_{\le n}:\ \max M\ge\max M_i}

also auch

{\max M\ge\max_{i\in\mathbb{N}_{\le n}}\max M_i}

sei {m_0:=\max_{i\in\mathbb{N}_{\le n}}\max M_i}, dann gilt

{\forall m\in M\ \exists k\in\mathbb{N}_{\le n}:\ m\in M_k}

also gilt

{\forall m\in M\ \exists k\in\mathbb{N}_{\le n}:\ m\le\max M_k\le m_0}

demnach gilt aber auch

{\max M\le m_0=\max_{i\in\mathbb{N}_{\le n}}\max M_i}

und somit

{\max M\le \max_{i\in\mathbb{N}_{\le n}}\max M_i\le \max M}

dh

{\max \bigcup_{i=1}^nM_i=\max_{i\in\mathbb{N}_{\le n}}\max M_i}

Nick
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Geändert von Nick F. (17.06.2011 um 14:21 Uhr)
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