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Alt 08.06.2011, 23:43   #16   Druckbare Version zeigen
noneofyourbusiness Männlich
Mitglied
Beiträge: 1.743
AW: Beweis geometrische Summenformel mittels Induktion

oh...weiß, was du meinst...habe die formel am anfang falsch geschrieben:

{(a^n - b^n) = (a-b)\sum_{j=0}^{n-1} a^jb^{n-1-j}}

wäre richtig...aber hatte das bei meinen bisherigen Versuchen berücksichtigt...
noneofyourbusiness ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 08.06.2011, 23:45   #17   Druckbare Version zeigen
Ernie93 Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 280
AW: Beweis geometrische Summenformel mittels Induktion

Schon der Induktionsanfang klappt nicht, ich bin aber auch nur Schüler und kann sein, dass ich falsch liege:

{(a^n-b^n)=\sum_{j=0}^{n-1}~{a^j\cdot b^{n-1-j}}}
Induktionsanfang nehmen wir für n=3

{ \sum_{j=0}^2~{a^j\cdot b^{n-1-j}}=1b^2+a\cdot b+a^2\cdot 1 }
Macht man das dann so?-> {\sum_{j=0}^2~{a^j\cdot b^{n-1-j}}=b^2+ \sum_{j=1}^2~{a^j\cdot b^{n-1-j}}= b^2+a \cdot b+ \sum_{j=2}^2~{a^j\cdot b^{n-1-j}}}

Das soll das nicht beantworten, ich frage mich nur, wie man das rechnet !

LG
Ernie93 ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 08.06.2011, 23:50   #18   Druckbare Version zeigen
Nick F. Männlich
Mitglied
Beiträge: 21.618
AW: Beweis geometrische Summenformel mittels Induktion

Zitat:
Zitat von Ernie93 Beitrag anzeigen
Induktionsanfang nehmen wir für n=3
n=1 geht schon baden.

aber mit dem (a-b) stimmt es. dafür benötigt man keine induktion

{(a-b)\sum_{j=0}^{n-1}a^jb^{n-1-j}=\sum_{j=0}^{n-1}a^{j+1}b^{n-1-j}-\sum_{j=0}^{n-1}a^jb^{n-j}=\sum_{j=1}^{n}a^{j}b^{n-j}-\sum_{j=0}^{n-1}a^jb^{n-j}=a^n+\sum_{j=1}^{n-1}a^{j}b^{n-j}-\sum_{j=1}^{n-1}a^jb^{n-j}-b^n=a^n-b^n}

Nick
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Nick F. ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 08.06.2011, 23:55   #19   Druckbare Version zeigen
noneofyourbusiness Männlich
Mitglied
Beiträge: 1.743
AW: Beweis geometrische Summenformel mittels Induktion

@Ernie: sorry, da hab ich dich wohl fehlgeleitet..war ein Flüchtigkeitsfehler

Zitat:
Zitat von Nick F. Beitrag anzeigen

aber mit dem (a-b) stimmt es. dafür benötigt man keine induktion
ich soll es aber explizit mit Induktion lösen. Würdest du dann genauso beginnen wie ich es oben angefangen habe ?
noneofyourbusiness ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 08.06.2011, 23:56   #20   Druckbare Version zeigen
Ernie93 Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 280
AW: Beweis geometrische Summenformel mittels Induktion

War meine Rechnung eigtl. richtig?

Und was bedeutet die Klammer vor dem Summenzeichen? das man die Summe für diese Variabeln einsetzen muss?

LG
Ernie93 ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 09.06.2011, 00:05   #21   Druckbare Version zeigen
Nick F. Männlich
Mitglied
Beiträge: 21.618
AW: Beweis geometrische Summenformel mittels Induktion

@Ernie: ja das war korrekt gerechnet und das mit der klammer ist einfach eine multiplikation a la (a-b)(c+d) nur dass die klammerung beim summenzeichen vernachlässigt wird, da klar

@noneofyourbusiness

mir fällt jetzt auch nicht gescheiteres ein

Nick
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Alt 09.06.2011, 00:06   #22   Druckbare Version zeigen
Ernie93 Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 280
AW: Beweis geometrische Summenformel mittels Induktion

Naja, wenn man für den Induktionsanfang ausgeht wie ich, für n=3
Und das einsetzt, hast du den Anfang

{(a-b) \sum_{j=0}^{n-1}~{a^j \cdot b^{n-1-j}}=(a-b) \cdot (b^2+1b+a^2)=(a^3-b^3)=(a^n-b^n) } für n=3

Anfang schon mal da :-)

Macht man sowas im Mathestudium? das macht spaß :-)
Ernie93 ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 09.06.2011, 00:10   #23   Druckbare Version zeigen
Nick F. Männlich
Mitglied
Beiträge: 21.618
AW: Beweis geometrische Summenformel mittels Induktion

sowas macht man am anfang des mathestudiums und das gehört nicht zu den sachen, die spaß machen. induktion ist einfach nur nervig (vllt kommt das auch erst wenn man schon 100 mal das ganze gemacht hat und es einfach nicht mehr sehen kann)

Nick
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Alt 09.06.2011, 00:13   #24   Druckbare Version zeigen
Ernie93 Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 280
AW: Beweis geometrische Summenformel mittels Induktion

Naja, ich liebe Mathe und wenn ich in einem Jahr erst einmal mein Abi habe, hoffentlich, dann werd ich das auch sofort studieren !
Morgen brüte ich mal über den Induktionsschritt nach, wie man den elegant machen könnte.
Ernie93 ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 09.06.2011, 00:16   #25   Druckbare Version zeigen
Nick F. Männlich
Mitglied
Beiträge: 21.618
AW: Beweis geometrische Summenformel mittels Induktion

viel erfolg, aber als kleine vorwarnung: induktionen arten häufig in blödes rumgerechne aus. also nicht wundern, wenn es nicht schön werden will, das liegt in der natur der sache. aber hier könnte man durchaus noch glück haben, die aussage ist sehr elementar.

Nick
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Alt 09.06.2011, 00:18   #26   Druckbare Version zeigen
Ernie93 Männlich
Mitglied
Themenersteller
Beiträge: 280
AW: Beweis geometrische Summenformel mittels Induktion

Danke :-)

Einen schönen Restabend wünsche ich euch, gute nacht !
Ernie93 ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 09.06.2011, 00:20   #27   Druckbare Version zeigen
noneofyourbusiness Männlich
Mitglied
Beiträge: 1.743
AW: Beweis geometrische Summenformel mittels Induktion

Zitat:
Zitat von Nick F. Beitrag anzeigen

mir fällt jetzt auch nicht gescheiteres ein
ok..werd nochmal rechnen...obwohl dann zum x-ten Mal nach dem Weg...
noneofyourbusiness ist offline   Mit Zitat antworten
Alt 09.06.2011, 00:30   #28   Druckbare Version zeigen
Nick F. Männlich
Mitglied
Beiträge: 21.618
AW: Beweis geometrische Summenformel mittels Induktion

induktionsschritt funktioniert und ist relativ einfach. beim indexshift muss man ein wenig aufpassen, aber sonst geht der einfach durch (lässt sich auch ganz nett aufschreiben)

Nick
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Alt 09.06.2011, 02:03   #29   Druckbare Version zeigen
noneofyourbusiness Männlich
Mitglied
Beiträge: 1.743
AW: Beweis geometrische Summenformel mittels Induktion

meine Rechnung bislang:

(...)

...wird nochmal überdacht..mit einem Dach..moment
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Alt 09.06.2011, 03:54   #30   Druckbare Version zeigen
noneofyourbusiness Männlich
Mitglied
Beiträge: 1.743
AW: Beweis geometrische Summenformel mittels Induktion

--> {\hat{Rechnung}}:

gegeben: {(a^k - b^k) = (a-b)\sum_{j=0}^{k-1}a^jb^{k-1-j}}

Zeige, dass dann folgt:

{(a^{k+1} - b^{k+1}) = (a-b)\sum_{j=0}^{k}a^jb^{k-j}}


--->

{(a^{k+1} - b^{k+1})\\= (a^k - b^k)(a+b) + ab^k - a^kb \\= \((a-b)\sum_{j=0}^{k-1}a^jb^{k-1-j}\)(a+b) + ab^k - a^kb \\= (a-b)\(\sum_{j=0}^{k-1}a^{j+1}b^{k-1-j} + \sum_{j=0}^{k-1}a^jb^{k-j}\)+ ab^k - a^kb \\= (a-b)\sum_{j=0}^{k}a^jb^{k-j} + \underbrace{(a-b)\(\sum_{j=0}^{k-2}a^{j+1}b^{k-1-j}\)+ ab^k - a^kb}_{R}}

Offenbar muss gezeigt werden, dass R = 0 gilt.

{\Rightarrow R = (a-b)\(\sum_{j=0}^{k-2}a^{j+1}b^{k-1-j}\) + ab^k - a^kb  \\= (a-b)\(\sum_{j=1}^{k-1}a^jb^{k-j}\) + ab^k - a^kb \\= (a-b)\(b\sum_{j=1}^{k-1}a^jb^{k-j-1}\)+ ab^k - a^kb \\= \[(ab-b^2)\sum_{j=1}^{k-1}a^jb^{k-1-j}\] + ab^k - a^kb \\= (ab-b^2)\(\frac{a^k-b^k}{a-b}-a^0b^{k-1}\)+ ab^k - a^kb \\= \frac{a^{k+1}b-ab^{k+1}-a^kb^2+b^{k+2}}{a-b} -\cancel{ab^k}+b^{k+1} + \cancel{ab^k} - a^kb \\=  \frac{\cancel{a^{k+1}b}-\cancel{ab^{k+1}}-\cancel{a^kb^2+b^{k+2}}+\cancel{ab^{k+1}} + \cancel{b^{k+2}}-\cancel{a^{k+1}b} +\cancel{a^kb^2}}{a-b} = 0}

Zitat:
Zitat von Nick F. Beitrag anzeigen
[...]relativ einfach.[...]geht [..] einfach durch (lässt sich auch ganz nett aufschreiben)
lass mich raten - du hast einen anderen Lösungsweg

Geändert von Rosentod (08.06.2011 um 12:46 Uhr) Grund: Zeilenumbrüche
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